双摆与混沌Double pendulum and chaos
差之毫厘，谬以千里。
拉格朗日方程 d/dt(∂L/∂θ̇ᵢ) = ∂L/∂θᵢ δ(t) ≈ δ₀·e^(λt)大学物理
蓝色：双摆，绿色：初始角度稍有不同的对照摆
拉格朗日方程 d/dt(∂L/∂θ̇ᵢ) = ∂L/∂θᵢ δ(t) ≈ δ₀·e^(λt)
一个摆下面再挂一个摆，运动方程完全确定，却无法长期预测：初始角度只差 0.1° 的两个双摆，几秒后就会走上完全不同的轨迹，偏差近似按指数增长——这就是混沌。摆角很小时运动接近两个简正模式的叠加，偏差不会放大。
θ₁上摆初始角（°）θ₂下摆初始角（°）δ对照摆的初始偏差（°）
t = 0.00 s
速度
机械能（最低点为零）44.10J
两摆末端相距0.002m
偏差放大倍数1.0倍
两摆末端距离（对数）
纵轴取对数：大致沿直线上升说明偏差按指数增长；小角度时几乎不增长。
想一想
把两个初始摆角都调到 20° 以内，对照摆的偏差还会迅速放大吗？
基本不会。小角度时双摆近似线性系统，运动是两个简正模式的叠加，偏差只随时间缓慢变化；只有摆角较大、非线性明显时才会出现混沌。
模型条件两段摆长 1 m、摆球 1 kg · 忽略摩擦与空气阻力 · RK4 数值积分（步长 2 ms）· 绿色对照摆的 θ₂ 多出 δ
实验记录
调好参数后点“记录当前数据”。多记几组不同参数的数据，就能画出它们的关系并做直线拟合；暂停后在不同时刻记录，还可以研究读数随时间的变化。